교통류의 3변수

• $Q$ = 교통량[veh/hour]
  • 단위 시간[hour]동안 도로의 특정 지점을 통과하는 차량 수[veh]
• $u$ = 속도[km/hour]
  • 차량들의 평균 이동 속도
• $k$ = 밀도[veh/km]
  • 단위 길이[km]당 도로 위에 존재하는 차량 수[veh]

교통류 모형의 의의

• 교통량, 속도, 밀도 간의 관계를 수식화하여 도로 상태를 예측하는 것이 목적
• 일반적으로 교통량이 0일 때 원인이 되는 상황은 아래의 2가지로 정리할 수 있음
  • 도로에 차량이 존재하지 않음 ($u_f\ ,\ k=0$)
    • $u_f$는 자유속도로, 도로에 차량이 존재하지 않을 때의 속도
  • 극심한 정체 상황에서 차량이 이동하지 못함 ($k_j\ ,\ u=0$)
    • $k_j$는 혼잡밀도로, 도로가 차량으로 포화되었을 때의 밀도
• 3가지 교통류 모형 존재

Greenshields 모형

• 속도와 밀도가 선형 관계를 가진다고 가정
• $k=0$일 때, $u=u_f$ 그리고 $k=k_j$일 때, $u=0$
• 단순하지만 현실적이지 못하고, 현실적인 $k_j$값을 모사할 수 없음

Greenberg 모형

• 속도가 밀도의 로그 함수 형태로 감소한다고 가정
• 혼잡 상태의 교통류 흐름($k\simeq k_{j}$)에선 높은 정합성을 보이지만, 저밀도 상태에서는 속도를 과추정함으로서 관측치와의 정합성 낮음
  • $k\rightarrow0\quad then,\quad u\rightarrow\infin$ ($u=u_f$를 넘어 무한대로 발산, 비현실적)
• 한계 보완을 위해 저밀도 구간($k\leq k_{m}$)에서는 Underwood 모형, 고밀도 구간($k\gt k_{m}$)에는 Greenberg 적용하는 Edie의 Multi-regime 모형 사용
  • $k_m$은 임계밀도로, 최대교통류율($Q_m$, 교통류가 제일 높을 때) 상태에서의 밀도를 의미함

Underwood 모형

• 속도가 밀도의 지수 함수 형태로 감소한다고 가정
• Greenberg와 반대로, 차량이 멈춰설 때 밀도인 혼잡밀도($k_j$)를 제대로 정의할 수 없음
  • $k\rightarrow\infin\quad then,\quad u\rightarrow0$ ($u=0$에 도달하지 못함, 비현실적)

Example 1. 어느 도로의 교통류가 $Q=-0.1k^2+20k$의 관계를 보일 때, $Q_{m},u_{m},k_{m}$ 은?

$Q=u\cdot k$ 식에서, $u$가 $k$에 대한 1차식이므로 Greenshields 모형이다.

Greenshields 모형에서 최대교통류율 $Q_{m}$은 밀도 $k$의 순간변화율이 0일 때이므로, 주어진 $Q(k)$를 $k$로 미분하여 구한다.

$$\frac{dQ}{dk}=-0.2k+20=0,\quad then,\quad k_{m}=\frac{20}{0.2}=100\left\lbrack\frac{veh}{km}\right\rbrack$$

$$Q_{m}=-0.1\left(100^2\right)+20\left(100\right)=-1000+2000=1000\left\lbrack\frac{veh}{hr}\right\rbrack$$

$$u_{m}=\frac{Q_{m}}{k_{m}}=\frac{1000\left\lbrack\frac{veh}{hr}\right\rbrack}{100\left\lbrack\frac{veh}{km}\right\rbrack}=10\left\lbrack\frac{km}{hr}\right\rbrack$$

Example 2. 속도와 밀도 관계식이 $u=61.2\cdot e^{-0.015k}$이다. 임계교통량 $Q_{m}$은?

$u$가 $k$에 대한 지수함수인 Underwood 모형이다.

$Q=u\cdot k$에서 $Q=61.2k\cdot e^{-0.015k}$이고, 임계교통량(최대교통량)은 밀도의 순간변화율이 0일 때이므로 주어진 $Q(k)$를 $k$로 미분하여 구한다.

$$\frac{dQ}{dk}=61.2\cdot e^{-0.015k}+\left(-0.015k\right)\cdot61.2\cdot e^{-0.015k}=0$$

$$61.2e^{-0.015k}\left(1-0.015k\right)=0$$

$e^{-0.015k}$는 0이 될 수 없으므로, $1-0.015k$가 0이 되어야 한다. 따라서,

$$0.015\cdot k_{m}=0\Rightarrow k_{m}=66.67\left\lbrack\frac{veh}{km}\right\rbrack$$

$$Q_{m}=61.2\left(66.67\right)\cdot e^{-0.015\left(66.67\right)}=1500.948\left\lbrack\frac{veh}{hr}\right\rbrack\simeq1501\left\lbrack\frac{veh}{kr}\right\rbrack$$

Example 3. 어느 도로의 속도가 60km/hour이고 밀도가 40veh/km일 때, 평균 차두시간(Time Headway)은?

$k=40[\frac{veh}{km}]$이므로, 차두거리 $d=\frac{1}{k}=\frac{1}{40}\left\lbrack\frac{km}{veh}\right\rbrack=25\left\lbrack\frac{m}{veh}\right\rbrack$이다.

도로의 속도 $u=60[\frac{veh}{km}]$ 이므로, 차두시간 $h=\frac{d}{u}=\frac{25\left\lbrack\frac{m}{veh}\right\rbrack}{60000\left\lbrack\frac{m}{hr}\right\rbrack}=\frac{1}{2400}\left\lbrack\frac{hr}{veh}\right\rbrack=1.5\left\lbrack\frac{sec}{veh}\right\rbrack$

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